Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения случайной величины может задаваться в виде:

• таблицы;
• графика;
• формулы (аналитически).

Преимущество применения типовых законов распределения состоит в их хорошей изученности и возможности получения состоятельных, несмещенных и относительно высоко эффективных оценок параметров. Однако рассмотренные выше типовые законы распределения не обладают необходимым разнообразием форм, поэтому их применение не дает необходимой общности представления случайных величин, которые встречаются при исследовании систем.

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

 

 

 

Нормальный закон распределения широко применяется в задачах практики. Объяснить причины этого впервые удалось Ляпунову. Он показал, что если случайная величина может рассматриваться как сумма большого числа малых слагаемых, то при достаточно общих условиях закон распределения этой случайной величины близок к нормальному независимо от того, каковы законы распределения отдельных слагаемых. А так как практически случайные величины в большинстве случаев бывают результатом действия множества причин, то нормальный закон оказывается наиболее распространённым законом распределения.

Математическое ожидание и дисперсия полностью характеризуют нормально распределённую случайную величину. Разумеется, что в общем случае, когда характер закона распределения неизвестен, знание математического ожидания и дисперсии недостаточно для определения этого закона распределения.

 

 

---

 

Логарифмически нормальное распределение

Кривая этого распределения

Логарифмически нормальное распределение встречается в ряде технических задач. Оно даёт распределение размеров частиц при дроблении, содержаний элементов в минералах в извержённых горных породах, численности рыб в море и т.д. Встречается такое распределение во всех задачах, где логарифм рассматриваемой величины можно представить в виде суммы большого количества независимых равномерно малых величин.

 

---

 

Гамма-распределение

 

 

Экспоненциальный закон распределения

 

Кривая экспоненциального распределения вероятностей показана на рис. 21,а, а график функции распределения на рис. 21,б.

 

---

 

Распределение Вейбула

 

Распределение Вейбула в ряде случаев характеризует срок службы радиоэлектронной аппаратуры и, кроме того, применяется для аппроксимации различных несимметричных распределений в математической статистике.

 

---

 

Равномерный закон распределения

Все возможные значения равномерно распределённой случайной величины лежат в пределах некоторого интервала; кроме того. в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (обладаю одной и той же плотностью вероятности). Равномерно распределение реализуется в экспериментах, где наудачу ставиться точка на отрезке.

График плотности равномерного распределения изображён на рис. 23.

 

 

 

Распределение хи-квадрат

 

 

---

 

Распределение Стьюдента

Кривые распределения Стьюдента (для различных значений n) изображены на рис. 26.

 

 

Как и в случае и хи-квадрат распределением, при увеличении n распределение Стьюдента стремится к нормальному, более того, стандартизованному нормальному (то есть с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией). Распределение Стьюдента, как хи-квадрат распределение, широко применяется в задачах математической обработки измерений.

 

Распределение Фишера

 

 

 

И немного дополнительных данных